Elementos de Geometria

Ainda que a Geometria seja abstracta em si mesma, devemos não obstante conceder que as difficuldades, que encontram aquelles, que a ella se principiam a applicar, provém as mais das vezes do modo, com que esta se ensina nos Elementos ordinarios. Nelles se principia sempre por hum grande numero de definições, de postulados, de axiomas, e de principios preliminares, que parece não promettem senão cousas seccas ao Leitor. As proposições, que depois se seguem, não fixando o espirito sobre objectos mais interessantes, sendo por outra parte difficeis de se conceberem, ordinariamente succede que os Principiantes se fatigam, e desanimam antes de terem alguma idéa distincta do que se lhes quer ensinar.

He verdade que por evitar esta sequidão, naturalmente unida ao estudo da Geometria, cuidáram alguns Authores em mostrar, depois de cada proposição essencial, o uso, que della se podia fazer na prática; porém com isto provam a utilidade da Geometria, sem facilitarem muito os meios de se aprender; porque vindo sempre as proposições antes do seu uso, o espirito não encontra idéas sensiveis, senão depois de ter soffrido o trabalho de passar pelas idéas abstractas.

Algumas reflexões, que fiz sobre a origem da Geometria, me deram a esperança de poder evitar estes inconvenientes, com reunir as duas ventagens de interessar, e illuminar os Principiantes. Pensei que assim esta, como todas as mais sciencias, se deviam ter formado por gráos; que verisimilmente alguma precisão tinha sido a que lhe tinha feito dar os primeiros passos, e que estes se não podiam dar fóra da capacidade dos Principiantes, pois que eram Principiantes aquelles, que os tinham dado.

A medição dos Terrenos me pareceo ser o mais proprio que havia para dar nascimento ás primeiras proposições da Geometria, o que com effeito he a origem desta Sciencia, pois que Geometria significa medição de Terreno. Pretendem alguns Authores, que vendo os Egypcios continuadamente os limites das suas heranças destruidos pelas inundações do Nilo, deitáram os primeiros fundamentos da Geometria, procurando os meios de se segurarem exactamente das situações, da extensão, e da figura dos seus dominios. Porém quando não nos conformassemos com estes Authores, ao menos não se poderá duvidar que desde os primeiros tempos os homens não procurassem methodos para medir, e repartir as suas Terras. Querendo depois aperfeiçoar estes methodos, as investigações particulares os conduzíram pouco a pouco a investigações geraes; e tendo comsigo proposto de saber a relação exacta entre toda a sorte de grandezas, formáram huma Sciencia de hum objecto muito mais vasto, do que aquelle, que no principio tinham abraçado, á qual não obstante conserváram o nome, que lhe tinham dado na sua origem.

A fim de seguir nesta Obra hum caminho semelhante ao dos Inventores, applico-me primeiramente a fazer descubrir aos Principiantes os principios, de que póde depender a simples medição dos Terrenos, e das distancias accessiveis, e inaccessiveis, &c. dalli passo a outras investigações, que tem tal analogia com as primeiras, que a curiosidade, que he natural a todos os homens, os conduz a deterem-se nellas; e justificando depois esta curiosidade com algumas applicações uteis, venho a fazellos discorrer por quanto ha de interessante na Geometria elementar.

Além da necessidade de medir a distancia de hum ponto a outro, succede muitas vezes que somos tambem obrigados a medir a distancia de hum ponto a huma linha. Hum homem, por exemplo, posto na margem de hum rio em D, (Estampa I. Figura 1.) quer saber a distancia que ha do lugar, em que elle está, á outra margem opposta AB. Bem se vê que neste caso, para medir a distancia que se quer, he preciso tomar a mais curta de todas as linhas rectas DA, DB, &c. que se podem tirar do ponto D sobre a recta AB. Ora he facil de ver, que esta linha a mais curta, de que precisamos, he a linha DC, que suppomos não pender nem para a parte de A, nem para a de B. Sobre esta linha pois, á qual se deo o nome de perpendicular, he que se precisa trazer a medida conhecida para podermos ter a distancia DC, que ha entre o ponto D, e a recta AB. Mas tambem vemos, que para se pôr esta medida sobre a linha DC, he preciso que esta linha se tire antes de tudo: logo era necessario que houvesse hum methodo para traçar perpendiculares.

Supponho que ABCDE (Fig. 12.) seja a figura de hum campo, de hum circuito, &c. do qual se quererá ter a medida. Segundo o que se tem visto, seria preciso repartir ABCDE em triangulos, como ABC, ACD, ADE, e então medir estes triangulos, depois de ter abaixado as perpendiculares EF, CH, BG; porém se no espaço ABCDE se encontra algum obstaculo, huma elevação, hum bosque, hum lago, &c. que impede tirarem-se as linhas, que se precisam, que se fará então? que methodo será necessario seguir para remediar este inconveniente do terreno? O methodo, que logo se apresenta á idéa, he o de escolher algum terreno plano, onde se possa á vontade trabalhar, e descrever sobre elle triangulos iguaes, e semelhantes aos triangulos ABC, ACD, &c. Vejamos como nos haveremos para formar os novos triangulos.

EST. IX.

Depois de termos visto que em hum mesmo segmento os angulos AEB, (Fig. 6.) AFB, AHB, suppostos na circumferencia, são todos iguaes, tentamo-nos a examinar em que se torna o angulo AQB, quando o seu vertice Q se confunde com o ponto B, extremidade da base AB. Este angulo desvanecer-se-hia então? Porém não parece possivel, que sem elle se ir fechando por gráos, viesse de repente a extinguir-se. Não se percebe qual seja o ponto, depois do qual este angulo cessasse de existir; como se virá pois a achar a sua medida? He esta huma difficuldade, que não se póde resolver, sem que se recorra á Geometria dos infinitos, da qual todos os homens tem ao menos huma imperfeita idéa, a qual basta sómente aclarar.

Observemos pois, que quando o ponto E se avizinha para B, mudando-se em F, H, Q, &c. a recta EB se diminue continuadamente; e que o angulo EBA, que ella faz com a recta AB, se abre cada vez mais. Porém por mais curta que venha a ser a linha QB, o angulo QBA não deixará com tudo de ser hum angulo, pois que para o fazermos sensivel, bastará produzir a linha diminuta QB para R. Mas deve tambem ser assim, quando a linha QB, á força de se diminuir, se reduzir em fim a nada? Em que veio então a parar a sua posição? A linha produzida em que se tornou?

A tangente ao circulo he a linha, que sómente o toca em hum só ponto.